괴델, 에셔, 바흐


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더글러스 호프스태터
까치

에셔가 그린다는 것, 바흐가 작곡한다는 것, 괴델이 명제화한다는 것은 무한반복의 끝이며, 결국은 자신이 제시한 무한반복의 고착화이며, 자기 파괴이다.

요정이 못 해주면 메타 요정을 불러라.

2000.3.10

글타. 책은 모름지기 뽀다구가 나야 한다. 독서일기 역시 뽀다구가 나야 가치 있다. 뽀다구에 관한 한 자신할 수 있는 괴델, 에셔, 바흐.... 솔직히 말하면, 이 책은 독서일기의 뽀다구를 위해 의도적으로 읽었다. 근데, 뽀다구가 과해서 좀 어렵다. 이해하기 힘든 글은 쓰지 않는 게 건강에 좋다는 제 평소의 주장에 비하면 턱없이 황당한 독서일기가 될 게 뻔하지만, 어렵게 읽은 게 아까와서라도 쓴다.

뱅의 독서일기 10. 괴델, 에셔, 바흐
더글라스 호프스태터

에셔 그림을 처음 본 것은 대학원 1 학기 때였다. 인터넷을 통한다면 뭐든 볼 수 있다는 생각이 막 사회적 동의를 얻고 있던 시절이었다. 주로 서양인의 기괴한 성적 기호에 대한 사진들을 감상하다가 식상해질 때쯤, 좀 뽀다구 나는 짓을 해보자면서 화가들의 그림을 모아놓은 사이트를 찾았다. 거기서 '그리는 손'을 만났다. 서로 그리는 손 두개의 그림이었다. 에셔의 이 작업을 정확히 말하면, '에셔는 서로 그리고 있는 손 두 개를 그렸다.' 그런데 서로 그리는 것을 그리는 행동은 무한히 반복될 수 있다. 예를 들어, '서로 그리는 두 개의 손을 그리는 손을 그리는....... 그림'처럼 말이다. 호프스태터는 이를 無限自己再歸性이라고 명명했다.

근데, 이 책에서 다루는 것은 에셔뿐이 아니다. 괴델은, 한 친구의 친절한 설명에 의하면, '참도 거짓도 아닌 명제가 있을 수 있다.'는 사실을 명제적으로 밝힌 수학자이다. 또 다른 후배의 설명에 의하면, 바흐의 푸가나 캐논(둘다 대강 돌림노래와 비슷한 뜻이라 함)은 돌림노래를 구성하는 각각의 조성도 주제를 반복하지만, 돌림노래 전체에서도 주제가 동일하게 반복되는 구조를 가진다고 한다. 흠, 역시 어렵다.

일단 이 세 사람의 공통점은 어떤 소재이든 집어넣으면 자신의 목적을 달성할 수 있는 나름의 틀을 가지고 있다는 데에 있을 것 같다. 이건 매력적이다. 아무거나 집어넣으면 별모양으로 잘리는 '슈퍼슬라이서' 같은 것일 거라고 생각한다. 에셔의 기괴한 그림은 말로 표현하긴 참 뭐한 공통점을 가지고 있다. 술 좀 먹고 보면 토할 것처럼 어지러운, 이 그림들의 공통점은 3 차원의 소재를 그대로 2 차원의 화면에 갖다붙여버린다는 것이다. 설명이 됐나? 호프스태터의 책에서 거북은 알라딘의 요정이 세 가지 소원을 말하라고 하자, 모든 소원을 성취하고 싶은 소원을 말했다. 그러자, 웃기지만, 요정은 메타-요정을 부른다. 이런 식으로 메타, 메타, 메타가 반복된다. 이런 반복이 괴델, 에셔, 바흐의 공통점이라는 것이다.

또 다른 공통점은 자기 파괴적인 결과에 도달할 수도 있다는 것이다. 호프스태터는 이걸 '모든 음을 재생할 수 있는 전축'에 비유했다. 세상 모든 음을 정확히 재생해낼 수 있는 전축이 있다. 결국 이 전축은 '재생한다면, 전축이 부서질 수 밖에 없는 음'까지 재생해낼 수 있다. 그래서 이상하게도, 모든 음을 재생해낼 수 있는 전축은 부서질 수 밖에 없다. 에셔가 그린다는 것, 바흐가 작곡한다는 것, 괴델이 명제화한다는 것은 무한반복의 끝이며, 결국은 자신이 제시한 무한반복의 고착화이며, 자기 파괴이다.

결국 이런 소재를 가지고 글을 쓴 호프스태터의 글은? 재밌는 점 가운데 가장 재미있게도, 이 책 역시 쓰는 것 외에는 무한반복을 벗어날 수 있는 근거를 의도적으로 마련해놓지 않은 것 같다. 무한자기재귀적인 작업은 괴델, 에셔, 바흐, 세 사람의 공통점이 아니라, 호프스태터까지 네 사람의 공통점인 것이다.